평면의 공식

이 글의 원문은 http://www.lighthouse3d.com/opengl/maths/index.php?planes

원문의 내용을 그대로 번역한 것이 아닌, 제가 이해하고 이해한 내용에 대해 내용을 추가하였으며 좀 더 쉽게 풀어서 다시 작성한 글입니다.

3차원 상에서 평면은 많은 방법으로 표현할 수 있습니다. 그러나 이 모든 방법들은 모두 평면 상에 존재하는 세개의 점을 알고 있다는 가정 아래서 표현이 됩니다. 여하튼….. 가장 일반적인 평면을 기술하는 수학적인 공식은 다음과 같습니다.

평면 상에 존재하는 점을 p0, p1, p2라고 하면, 계수 A, B, C와 D는 다음과 같은 절차로 계산됩니다.

1. 벡터 v와 u를 구하며, 벡터 v = p1 – p0, u = p2 – p0이다.
2. 벡터 n = v x u (v와 u의 외적)
3. 벡터 n을 정규화(크기가 1인 단위벡터화)
4. 벡터 n=(xn, yn, zn)이라고 한다면 계수 A=xn, B=yn, C=zn 임
5. 계수 D를 구하기 위해 앞에서 제시한 평면의 공식을 D에 대해 전개. 즉, -D = Ax + By + Cz
6. 평면 상의 점(예를 들어 p0)에 대해 위의 공식의 x, y, z에 값을 대입하여 D를 구함(이 값은 내적을 이용해 쉽게 구할 수 있음. 즉, D = -n ∙ p0)

어떤 점에서 평면까지의 거리와 그 의미

이 블로그의 포스팅된 글에 중에 이와 관련된 글이 있지만, 평면에 대한 공식을 알아보니.. 복습 차원에서 다시 한번 정리해 보겠습니다.

앞에서 평면 방정식의 계수를 구하는 방법을 이용해 얻은 평면의 공식 Ax + By + Cz + D = 0 이 있다고 할때, 이 평면과 어떤 점 r 사이의 거리는… 만약 r이 (xr, yr, zr)이라면 이 좌표를 위의 평면의 방정식에 대입하여 D에 대해 전개하여 구한 값에 대해 절대값을 취하면 됩니다. 즉, D = |Axr + Byr + Czr|이며 이는 내적의 공식을 이용해서 다음처럼 표현할 수 있습니다.

거리값이므로 D에 대해서 절대값을 취했는데, 그렇다면 이 부호의 의미는 무엇일까요? 먼저 D 값이 0이라면 r은 평면 상에 존재하는 점입니다. r이 양수라면 평면을 기준으로 벡터 n의 방향에 있는 공간상에 r이 존재하고 음수라면 그 반대 방향에 존재합니다.

평면상에 어떤 점을 투영

점 q를 평면 Ax + By + Cz + D = 0에 투영한 점은 q에서 가장 가까운 평면상의 점입니다. q에서 평면까지의 부호있는 거리(계수 D)를 dist라고 한다면… 평면상에 가장 가까운 점 p는 다음과 같습니다.