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두 개의 벡터에 대한 내적의 연산 결과는 스칼라 값입니다. 두 벡터 사이의 코사인값을 얻는 것은 간단합니다. 아래의 식은 두 벡터 v1, v2에 대한 내적 v를 계산하기 위한 필요한 단계를 보여주고 있습니다. 내적의 연산은 일반적으로 ‘ ∙ ‘ 로 표시합니다.

벡터 v1과 v2 사이의 각도로 표시하는 방법으로 하면 다음처럼 나타낼 수 있습니다.

위의 식으로부터 우리는 두 벡터중에 하나라도 크기가 0이면 내적 역시 0이 된다는 것을 알 수 있으며 두 벡터가 수직(90도)일 경우도 내적이 0이라는 것을 알 수 있습니다. 아래는 내적에 대한 몇가지 성질입니다. 즉, 교환법칙과 분배법칙 모두 성립한다는 것입니다.

두개의 벡터에 대한 외적은 또 하나의 새로운 벡터를 정의합니다. 두개의 벡터가 이루는 하나의 평면에 대해 수직인 벡터가 바로 외적에 의해 만들어지는 새로운 벡터입니다. 외적은 두 벡터가 이루는 각을 구하는 것이라든지, 광원에 대한 계산, 즉 빛의 방향을 구하는 계산 등에 응용됩니다.

아래의 공식은 두개의 벡터 v1, v2에 대한 외적 v를 구하기 위해 필요한 과정을 보여주고 있습니다. 외적 연산의 기호는 ‘ X ‘를 일반적으로 많이 사용합니다.

벡터 v1과 v2의 시작점을 원점이라고 할때, 벡터v1과 v2가 이루는 평면이 X축과 Z축이 구성하는 평면인 XZ라고 하면 외적에 의한 벡터는 v1에서 v2가 반시계방향이면 Y축 방향으로 위를 향하고 시계방향이면 Y축 방향으로 아래를 향합니다. 두 벡터의 외적에 대한 일반적인 성질은 아래와 같습니다. 내적과는 다르게 외적은 교환법칙이 성립하지 않습니다. 아래의 식에서 k는 스칼라값입니다.

벡터v1과 v2가 이루는 사인각으로도 외적을 표시할 수 있으며, 다음과 같습니다.

위의 식에서 a가 두벡터 사이의 각도 입니다. 위 공식에서 보듯, 외적도 내적과 마찬가지로 두 벡터가 이루는 각을 구하는데 사용할 수 있습니다.